Fabio Zugno, Padova
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Io lavoro nell'ambiente Mathematica (Wolfram Language), per cui ho scritto dei codici in questo linguaggio per ottenere gli sviluppi analitici della funzione perturbatrice. Tuttavia, questo sito non è una collezione di programmi scritti in Mathematica, ma mostra formule esplicite, come nei libri. Le ho curate in modo che i programmi (in qualsiasi linguaggio) si possano ottenere in gran parte con un semplice lavoro di trascrizione. Il software non si deve occupare di calcolare sviluppi in serie, e di moltiplicarli, semplificando il risultati: le formule contengono la legge generale di queste operazioni.
Ecco una breve anticipazione dei contenuti del sito. Ricordo le ben note equazioni differenziali in coordinate cartesiane, con origine nel primario, per il moto di due astri (pianeti o satelliti) che si perturbano a vicenda:
Ecco una breve anticipazione dei contenuti del sito. Ricordo le ben note equazioni differenziali in coordinate cartesiane, con origine nel primario, per il moto di due astri (pianeti o satelliti) che si perturbano a vicenda:
Per brevità, ho introdotto le notazioni:
RD è la parte diretta, le RE e RI sono le parti indirette (per un perturbatore esterno, e per uno interno).
Le funzioni DF si possono esprimere con uno sviluppo di Fourier, con soli coseni, i cui coefficienti (che chiamo DFC) sono espressi in serie di potenze delle quantità σ e σ' (seni della semi-inclinazione) e delle eccentricità e, e'; i coefficienti dei monomi sono funzioni della quantità ɑ = a/a' (rapporto fra i semiassi maggiori). Gli argomenti sono combinazioni lineari dei 3 elementi orbitali tradizionali L (longitudine media), Ω (longitudine del nodo ascendente), ϖ (longitudine del perielio).
Ho elaborato delle formule generali che forniscono tutti i termini con coefficienti sviluppabili con monomi fino ad un ordine prescelto, W; la formula seguente permette di calcolare tutti i termini che soddisfano alla condizione dell'ordine W, senza ripetizioni. Le sommatorie si occupano di generare tutti i termini richiesti, e solo quelli, con i dovuti argomenti.
Le funzioni DF si possono esprimere con uno sviluppo di Fourier, con soli coseni, i cui coefficienti (che chiamo DFC) sono espressi in serie di potenze delle quantità σ e σ' (seni della semi-inclinazione) e delle eccentricità e, e'; i coefficienti dei monomi sono funzioni della quantità ɑ = a/a' (rapporto fra i semiassi maggiori). Gli argomenti sono combinazioni lineari dei 3 elementi orbitali tradizionali L (longitudine media), Ω (longitudine del nodo ascendente), ϖ (longitudine del perielio).
Ho elaborato delle formule generali che forniscono tutti i termini con coefficienti sviluppabili con monomi fino ad un ordine prescelto, W; la formula seguente permette di calcolare tutti i termini che soddisfano alla condizione dell'ordine W, senza ripetizioni. Le sommatorie si occupano di generare tutti i termini richiesti, e solo quelli, con i dovuti argomenti.
Ogni argomento ha la forma: n1 L'+n2 L+ ... e il rapporto n1/n2 caratterizza la frequenza della perturbazione; il valore assoluto di n1+n2 è detto ordine della perturbazione. Noto che la formula raggruppa i termini a seconda dei valori di n1 e n2 e, grazie alle simmetrie dei coefficienti e del cos, riunisce i duplicati in un termine solo. Com'è noto, i termini con n1=n2=0 sono detti secolari. Per facilitare gli usi pratici, limito lo sviluppo non solo secondo l'ordine massimo dei monomi nel coefficiente (W), ma anche secondo il massimo valore di n1 (A). Ovviamente, l'ordine W dello sviluppo W deve essere maggiore o uguale a quello della perturbazione.
La formula qui sopra permette di gestire gli argomenti dello sviluppo di Fourier, ma occorre una formula generale per il coefficiente DFC. Ho scelto un'espressione relativamente semplice dell'espressione di DF(W), e l'ho adottata come funzione generatrice delle funzioni DFC:
La formula qui sopra permette di gestire gli argomenti dello sviluppo di Fourier, ma occorre una formula generale per il coefficiente DFC. Ho scelto un'espressione relativamente semplice dell'espressione di DF(W), e l'ho adottata come funzione generatrice delle funzioni DFC:
La funzione DF è la somma delle parti diretta e indiretta; quindi, il coefficiente contiene i contributi delle due parti. Queste sono sate studiate separatamente, ma la formula si occupa di combinarle. L'eventuale contributo della parte indiretta è una semplice funzione algebrica in ɑ; la parte diretta si esprime da sempre: 1) con funzioni trascendenti; 2) in serie di potenze di ɑ. Ho studiato entrambe i casi, e anche una terza tecnica 3), che non ho trovato nei testi consultati. Nella 3), DF è sviluppata in serie di potenze delle inclinazioni e delle eccentricità, con esponenziali dipendenti dalle longitudini dei nodi e dei perifuochi. La novità è che il coefficiente dipendente da ɑ e dalle longitudini medie rimane in forma chiusa, come una combinazione finita di esponenziali e radicali. Questi ultimi si possono sviluppare in serie di funzioni trascendenti, ottenendo un risultato del genere 1), però con funzioni differenti da quelle ottenute con il procedimenti diretto.
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