Applicando gli sviluppi dei capitoli FUNZIONI, ho trovato questo sviluppo della parte diretta della funzione perturbatrice:
Le due parti si possono riunire scrivendo:
Mettendo per prime le sommatorie che formano gli esponenti dei monomi è stato facile determinare gli estremi in modo che il grado del monomio formato dalle variabili delle inclinazioni e dalle eccentricità non superi un valore limite, W. Ciò dà la garanzia che gli argomenti che si otterranno saranno tutti quelli, e solo quelli, pertinenti all’ordine W.
Le funzioni rd al secondo membro dipendono solo da α e dalle longitudini medie, e si possono considerare le funzioni generatrici di funzioni di α:
Le funzioni rd al secondo membro dipendono solo da α e dalle longitudini medie, e si possono considerare le funzioni generatrici di funzioni di α:
La sostituisco nella formula di RD(W), tenendo conto della simmetria appena mostrata:
Il calcolo delle funzioni di α è complicato, e si può fare in molti modi; in altre pagine ne mostrerò alcuni.
Questa è la formula generale per le parti indirette, limitando gli sviluppi all'ordine W:
Questa è la formula generale per le parti indirette, limitando gli sviluppi all'ordine W:
Il risultato appare molto differente da quello di RD(W), com'è logico aspettarsi; però ho trovato una trasformazione e semplificazione delle sommatorie che fa emergere notevoli somiglianze:
Alla luce di questo fatto, ho introdotto la formula generale per la funzione perturbatrice totale DF, prendendo come modello la formula di RD:
La DF è una combinazione di RD e RI, oppure coincide con RD, a seconda che determinate condizioni siano soddisfatte, oppure no. Ho definito la funzione RI per le parti indirette, e la funzione CI che contiene tutte le disequazioni da valutare; se tutte le operazioni logiche danno risultato vero (true), esiste un termine indiretto da sommare, altrimenti no.
Già Tisserand mostrò come ricavare la parte indiretta partendo da quella diretta: [Tisserand-1889], p. 309. Il suo metodo forniva delle espressioni che dovevano essere elaborate per raccogliere le parti comuni dei coefficienti dei monomi. Con la mia formula, eseguita da un programma, l'eventuale termine indiretto viene creato direttamente al suo posto all'interno del coefficiente del monomio, e sommato automaticamente al contributo della parte diretta: non serve alcuna semplificazione. Chi usa il programma, non deve determinare preventivamente quali argomenti hanno dei termini indiretti nel coefficiente, e quali no: di questo si occupa la funzione CI. Ad ogni modo, nel caso servisse un studio specifico, ho elaborato anche le espressioni esplicite delle parti indirette.