Per gli scopi della presente trattazione, la quantità β deve essere espressa in termini dell'eccentricità. Le potenze positive o negative di β si possono esprimere con la serie:
La funzione esponenziale negli integrali è generatrice delle funzioni di Bessel, ma in questa sede mi interessa mostrare lo sviluppo in serie di potenze dell'eccentricità:
Definisco le funzioni H tramite una funzione generatrice:
e allora la teoria dei coefficienti di Laplace generalizzati fornisce, per j>=0:
Definisco:
Ho trovato, per p≥q:
I coefficienti di Newcomb si possono ottenere tramite le funzioni HN:
Questo è il programma con formule ricorrenti oggi comunemente usato, qui solo leggermente modificato per rendere più efficiente l'implementazione nel mio codice in Mathematica: