Per i polinomi associati di Legendre e le armoniche sferiche adotto la definizione usata da Mathematica. Sia x reale, n=0, 1, 2, …, -n≤m≤n; allora:
Eugene Paul (Jenő Pál) Wigner (1902-1995) in [Wigner-1931;1959] dedusse un teorema generale per la rotazione delle armoniche sferiche, valido per la complicata struttura delle funzioni della meccanica quantistica (in grado di supportare anche argomenti semi-interi).
Nell’articolo [Kaula-1961], William Mason Kaula (1926-2000) pubblicò il primo sviluppo valido per tutte le armoniche del geopotenziale; esso contiene delle funzioni delle inclinazioni, che oggi in suo onore sono dette funzioni di Kaula. Normalmente si cita come riferimento una sua opera successiva, [Kaula-1966]. Questa è la sua definizione originale (modificata con la mia notazione degli elementi e identificata come K):
Nell’articolo [Kaula-1961], William Mason Kaula (1926-2000) pubblicò il primo sviluppo valido per tutte le armoniche del geopotenziale; esso contiene delle funzioni delle inclinazioni, che oggi in suo onore sono dette funzioni di Kaula. Normalmente si cita come riferimento una sua opera successiva, [Kaula-1966]. Questa è la sua definizione originale (modificata con la mia notazione degli elementi e identificata come K):
Kaula non usò la soluzione di Wigner, come si capisce dalla complicata struttura della sua formula, ma sviluppò direttamente le coordinate astronomiche applicando teoremi di astronomia sferica. Lady Bertha Swirley Jeffreys (1903-1999) in [Jeffreys_B-1965], pur citando la formula di Wigner, preferì fornire una originale derivazione diretta con un sofisticato formalismo matematico. Imre [Gyula] Izsák (1929-1965) in [Izsák-1964] applicò direttamente i coefficienti di Wigner al problema geofisico. R. R. Allan in [Allan-1965] diede una formula oggi comunemente usata, basata su quella di Izsák:
Il mio studio si basa su questi passaggi, che servono a porre delle relazioni intuitive fra primo e terzo membro, e secondo e quarto:
Il secondo membro si ottiene dal primo con i metodi di [MacRobert-1927;1947] oppure [Hobson-1931]. Il terzo si ottiene dal primo esprimendo le coordinate sferiche tramite gli elementi orbitali, grazie a note formule di trigonometria sferica, e facendo semplici trasformazioni. Il terzo membro, sviluppato grazie ad una semplice applicazione del teorema binomiale, si può considerare la funzione generatrice delle funzioni F mostrate nel quarto membro. Infine, confrontando secondo e quarto membro, si ottiene:
Questi passaggi servono ad evitare lo sviluppo diretto delle armoniche sferiche in termini di funzioni dell’inclinazione. Questa difficile operazione, affrontata con un normale bagaglio matematico, conduce a risultati complicati (Kaula); per ottenere il risultato elegante del quarto membro servono le avanzate tecniche matematiche di Wigner o di Bertha Jeffeys.