I coefficienti di Laplace, oggi universalmente conosciuti, furono introdotti da Pierre-Simon Laplace (1749-1827) nella sua celebre Memoria sulle perturbazioni di Giove e Saturno [Laplace-1785], con la stessa notazione oggi in uso.
Come ben spiegato in un articolo di Jacques Laskar [Laskar-2005], si possono prendere in considerazione anche dei coefficienti di Laplace generalizzati, con due indici, non necessariamente positivi e seminteri (attenzione: non tutti i valori degli esponenti r e s danno risultati sensati, si possono ottenere divisioni per 0):
Si può generalizzare ancora la formula generatrice, sempre con le dovute precauzioni:
Per comodità di scrittura, definisco:
Le derivate dei coefficienti di Laplace possono essere espresse come sommatorie infinite di combinazioni di funzioni gamma e fattoriali, almeno formalmente. Anche quando sono sconvenienti per l’uso pratico, queste serie consentono di confrontare le strutture delle diverse funzioni; possono essere usate per interpretare la definizione di alcuni dei coefficienti dei monomi nella funzione perturbatrice. Riporto la formula per i coefficienti classici:
La formula sembra molto complicata, ma nel calcolo pratico molte delle funzioni al numeratore si eliminano con quelle al denominatore. Esempi: