È utile una funzione generatrice basata sulle stesse variabili presenti al secondo membro, perché si può modificarla in modo da esplorare altre espressioni delle funzioni F, oppure la si può rendere utilizzabile per altri problemi matematici, anche non legati a funzioni sferiche. Ecco due trasformazioni, matematicamente equivalenti, della funzione generatrice:
Questa è una formula semplificata, applicabile però solo se -n≤h≤n e h+n è pari:
Il teorema di sviluppo diventa ancora più versatile con una trasformazione di variabili, che permette di scrivere un’equazione differenziale per una variabile non angolare:
Chiamo funzioni di Kaula le F qui definite, perché sono matematicamente strettamente affini alle definizioni originali di Kaula (K) e di Allan (A):
Ho studiato la definizione degli argomenti delle F in modo da ottenere delle semplici relazioni con i coefficienti dell’esponenziale e con gli argomenti delle sommatorie (per lo stesso motivo, ho fatto ampio uso delle sommatorie a passo 2). Proprietà di simmetria delle funzioni F:
Applicandole tutte e 3 (al bisogno), è sempre possibili ricondursi allo calcolo di funzioni con q1 e q2 non negativi. Ma ho trovato che, in pratica, è preferibile usare solo la prima formula di simmetria, perché troppe trasformazioni rallentano il calcolo. Sviluppando con la serie binomiale la prima forma della funzione generatrice, si trova una formula compatibile con quella di Allan. Questo risultato si può esprimere con un polinomio ipergeometrico, a cui si può applicare una nota trasformazione lineare delle funzioni di Gauss, che gli conferisce una struttura molto più simmetrica. Lo stesso risultato si può ottenere direttamente sviluppando la seconda forma della funzione generatrice (qui sopra). Ecco mia formulazione preferita delle funzioni F: